Contraintes principales, cercles de Mohr, critères de Tresca et de Von Mises, loi de Hooke, puis méthode des éléments finis : ce cours de 163 pages de résistance des matériaux (RDM) relie la théorie de l’élasticité au calcul numérique des structures. Il accompagne le module « Élasticité plane » du logiciel RDM. Cette page en présente le contenu, propose un mini-cours et 6 exercices corrigés, et vous permet de télécharger le PDF.
Contraintes · Mohr · Tresca et Von Mises · loi de Hooke · éléments finis · logiciel RDM
PDF de 163 pages, nombreuses figures et exemples.
Présentation du PDF : élasticité plane et éléments finis
Le document commence par un rappel complet d’élasticité (contraintes, déformations, loi de comportement, critères de limite élastique, contraintes et déformations planes, problèmes axisymétriques), présente ensuite le fondement mécanique de la méthode des éléments finis, avec l’exemple de l’élément triangulaire à trois nœuds et d’une poutre en flexion, puis décrit l’utilisation du logiciel RDM : géométrie, maillage, choix des éléments et exploitation des résultats.
Ce que contient le cours
| Chapitre | Ce que vous apprenez |
|---|---|
| 1. Rappels d’élasticité | Tenseur des contraintes, contraintes principales, cercles de Mohr, déformations, loi de Hooke |
| Critères de limite élastique | Tresca, Von Mises, cas des contraintes planes |
| Problèmes particuliers | Contraintes planes, déformations planes, problèmes axisymétriques |
| 2. Éléments finis | Énergie potentielle, approximation, élément triangulaire à 3 nœuds, matrice de rigidité, assemblage |
| 3. Choix des éléments | Influence du maillage, étude d’un cas test |
| 4. Le logiciel RDM | Modélisation de la géométrie, maillage, qualité du maillage, calcul et résultats |
Mini-cours : contraintes planes et critères
1. Contraintes principales en état plan
σ1,2 = (σx + σy)/2 ± √[((σx − σy)/2)² + τxy²]. Le cercle de Mohr a pour centre (σx + σy)/2 et pour rayon la racine.
2. Critère de Tresca
La contrainte équivalente est σeq = σmax − σmin (en tenant compte de σ3 = 0 en contraintes planes). On vérifie σeq ≤ σe.
3. Critère de Von Mises
En contraintes planes : σVM = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²). Il est un peu moins sévère que Tresca.
4. Loi de Hooke
En traction simple : ε = σ / E, et la déformation transversale vaut −ν ε.
5. L’élément triangulaire T3
3 nœuds × 2 degrés de liberté = 6 inconnues ; la déformation et la contrainte y sont constantes.
6 exercices corrigés en ligne
Six exercices pour appliquer les formules du cours.
Exercice 1. σx = 80 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 40 MPa. Calculez les contraintes principales.
Afficher la correction 1
Centre 50 MPa, rayon √(30² + 40²) = 50 MPa : σ1,2 = 50 ± 50.
Exercice 2. Pour cet état, quelle est la contrainte de cisaillement maximale dans le plan ?
Afficher la correction 2
C’est le rayon du cercle de Mohr : (σ1 − σ2) / 2 = 50 MPa.
Exercice 3. σ1 = 100 MPa et σ2 = −50 MPa (contraintes planes). Contrainte équivalente de Tresca ?
Afficher la correction 3
σmax − σmin = 100 − (−50) = 150 MPa.
Exercice 4. Même état : contrainte équivalente de Von Mises ?
Afficher la correction 4
√(100² − 100 × (−50) + 50²) = √17 500 = 132,3 MPa.
Exercice 5. Barre en acier (E = 210 000 MPa, ν = 0,3) soumise à 100 MPa de traction. Déformations longitudinale et transversale ?
Afficher la correction 5
ε = 100 / 210 000 ; εt = −0,3 × ε.
Exercice 6. Quelle est la taille de la matrice de rigidité d’un élément triangulaire T3 en élasticité plane ?
Afficher la correction 6
3 nœuds avec 2 déplacements chacun (u, v) : 6 degrés de liberté.
Questions fréquentes
Le PDF est-il gratuit ?
Oui, il est téléchargeable gratuitement.
Faut-il le logiciel RDM pour l’utiliser ?
Non : les deux premiers chapitres (élasticité et éléments finis) constituent un cours complet ; la dernière partie sert si vous utilisez le logiciel.
À quel niveau s’adresse-t-il ?
Aux étudiants en génie civil et en génie mécanique (IUT, licence, école d’ingénieurs).
Télécharger le PDF : élasticité plane et éléments finis
Téléchargez le cours ci-dessous : un document de référence pour comprendre la RDM et les éléments finis.
Document : RDM – Module Élasticité plane : théorie et éléments finis
Source : Yves Debard, IUT du Mans (documentation du logiciel RDM)
Format : PDF · 163 pages · 1,9 Mo
Contenu : Rappels d’élasticité, critères de limite élastique, méthode des éléments finis, choix des éléments, utilisation du logiciel RDM.
