TD d’optique géométrique

Exercices en optique géométrique

Le tableau ci-dessous donne les longueurs d’onde, dans le vide, de deux radiations monochromatiques et les indices correspondants pour deux types de verre différents.

Couleur	λ0	n (crown)	n (flint)
rouge	656.3	1.504	1.612
bleue	486.1	1.521	1.671

1) Calculer les fréquences de ces ondes lumineuses. Dépendent-elles de l’indice du milieu ?

On prendra la célérité de la lumière dans le vide c₀ = 2, 998.10⁸ m.s⁻¹.

2) Calculer les vitesses et les longueurs d’onde de la radiation rouge dans les deux verres.

3) a) Un rayon de lumière blanche arrive sur un dioptre plan air-verre, sous l’incidence i = 60°. L’indice de l’air est pris égal à n₀ = 1. Rappeler les lois de Descartes relatives à la réfraction de la lumière.

    b) Calculer l’angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge pour un verre crown, puis pour un verre flint. Faire une figure. Quel est le verre le plus dispersif ?

1- Soit λ₀ la longueur d’onde de la radiation dans le vide. On a :

Pour la radiation rouge ν_R = 4, 568.10¹⁴ Hz, et pour la radiation bleue ν_B = 6, 167.10¹⁴ Hz.

Les fréquences ne dépendent pas du milieu où se propage la radiation, ainsi la fréquence de la radiation rouge est la même dans le verre de crown que dans le verre de flint. De même pour la radiation bleue.

2- L’indice de réfraction est défini par :

, où v est la vitesse de propagation de la radiation dans un milieu donné.

La longueur d’onde de la radiation est

• Dans le verre de crown, la vitesse et la longueur d’onde de la radiation rouge sont respectivement :

v_R = 1, 993.10⁸ m.s⁻¹ et ν_R = 436, 3 nm .

• Dans le verre de flint, la vitesse et la longueur d’onde de la radiation rouge sont respectivement :

v_R = 1, 86.108 m.s⁻¹ et ν_R = 407, 1 nm .

3- a) Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et n₀ sin i = n sin r.

b) • Pour le verre de crown :

La radiation rouge est réfractée sous l’angle : r_R = 35, 16° et la bleue sous r_B = 34, 71°.

L’angle de déviation étant l’angle entre la direction du rayon incident et du rayon réfracté, et donc le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut r_R – r_B = 0,45°.

• Pour le verre de flint :

r_R = 32, 50° et r_B = 31, 22° : le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut 1,28°

Le « flint » est un verre plus dispersif que le « crown » car l’angle entre les deux rayons est le plus important.

Deux morceaux de verre taillés sous forme de triangles rectangles et isocèles d’indices respectifs N et n ont leur face AB commune. Un rayon incident normal à AD suit sa marche comme l’indique la figure. Les valeurs de N et n sont telles que la réflexion soit totale en I₂.

1) Ecrire la relation de Snell-Descartes aux points I₁ et I₃.

2) Quelles relations vérifient les angles r et a ; a et b ?

3) Quelle relation vérifient N et n pour que la réfraction soit limite en I₂ ?

Calculer N, r, et l pour n = 3/2 quand cette condition limite est réalisée.

On appelle N₀ cette valeur limite de N. Pour que la réflexion soit totale en I₂, N doit-il être plus grand ou plus petit que N₀ ?

4) Ecrire la relation vérifiée par N et n pour que l’angle i soit nul. Que vaut N ?

1. En I₁ :

et en I₃ :

2. La normale à BC et la normale à AB sont perpendiculaires entre elles, dans le triangle formé par ces normales et I₁I₂, on a :

De plus, avec le triangle I₂CI₃, on établit :

On trouve :

ou bien

càd :

3. Si i est nul alors est β nul, soit α = r = /4, et donc (1) N = n = 3/2

Une demi-boule de rayon R taillée dans un verre d’indice n, plongée dans l’air, est entièrement éclairée, du côté de la face plane, par un faisceau de rayons parallèles à l’axe principal.

1. Montrer que la totalité du faisceau incident n’est pas transmise par le système.
2. Quel est le diamètre d du faisceau incident transmis ?
3. Montrer que le système n’est pas stigmatique.
4. Exprimer la longueur a de la tache lumineuse (appelée aberration longitudinale) que l’on observe du côté de la face de sortie du système le long de l’axe principal.

1-Tous les rayons parallèles du faisceau incident traversent la face plane sans être déviés. Sur la face sphérique, seuls les rayons qui tombent sous incidence i < ℓ passent, avec ℓ est l’angle de réfraction limite.

2- Au point I’ on a : n sini = sinr

Par ailleurs, dans le triangle (CI’F’) et d’après le théorème des sinus :

la position de F’ dépend de l’angle d’incidence i, le stigmatisme est donc non rigoureux.

3- Les positions extrêmes de F’ correspondent à i = 0 et i = ℓ

0 < i< ℓpour avoir réfraction sur la face sphérique ; pour i > ℓ, on aura réflexion totale.

Pour i = 0,

Pour i = ℓ,

L’aberration longitudinale a de la demi-boule est telle que :

a est la longueur de la tache lumineuse que l’on observe du côté de la face de sortie du système le long de l’axe principal.

Remarque : pour les rayons paraxiaux (i 0), la position de F’₀ est à peu près indépendante de i (stigmatisme approché), F’₀ représente dans ce cas le foyer image du système optique.