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• Date de création juin 5, 2020
• Dernière mise à jour juin 5, 2020

Sommaire

1. Rappel d'élasticité.......................................................................................................................... 5
1.1 Contraintes...................................................................................................................... 5
1.1.1 Etat des contraintes en un point...................................................................... 5
1.1.2 Vecteur contrainte en un point pour une direction n .................................... 5
1.1.3 Contrainte normale et tangentielle.................................................................. 6
1.1.4 Contraintes principales et directions principales............................................ 6
1.1.5 Etats de contraintes particuliers...................................................................... 8
1.1.6 Cercles de Mohr.............................................................................................. 10
1.1.6.1 Cercles de Mohr des contraintes..................................................... 10
1.1.6.2 Cercles de Mohr en contraintes planes ........................................... 11
1.1.6.3 Construction de Mohr ..................................................................... 13
1.1.7 Etat des contraintes autour d'un point sur la surface d'un solide .................... 13
1.2 Déplacements - Déformations ........................................................................................ 15
1.2.1 Champ des déplacements................................................................................ 15
1.2.2 Etat des déformations au voisinage d'un point................................................ 15
1.2.3 Allongement unitaire en A et pour une direction q ....................................... 15
1.2.4 Glissement. Distorsion.................................................................................... 16
1.2.5 Déformations principales et directions principales ........................................ 17
1.2.6 Etat de déformations planes............................................................................ 17
1.3 Loi de comportement...................................................................................................... 18
1.4 Critères de limite élastique ............................................................................................. 19
1.4.1 Critère de Tresca ou du cisaillement maximal ............................................... 19
1.4.2 Critère du plus grand travail de distorsion. Critère de Von Mises ................. 23
1.4.3 Critères exprimés dans le cas de contraintes planes....................................... 23
1.4.3.1 Critère de Tresca............................................................................. 23
1.4.3.2 Critère de Von Mises ...................................................................... 24
1.5 Types particuliers de problème d’élasticité.................................................................... 24
1.5.1 Contraintes planes du plan (x1,x2) ................................................................ 25
1.5.2 Déformations planes ....................................................................................... 25
1.5.3 Problèmes axisymétriques méridiens.............................................................. 26
2. Fondement mécanique de la méthode des éléments finis.............................................................. 27
2.1 Notations......................................................................................................................... 27
2.2 Problème d'élasticité. Equations d'équilibre ................................................................... 28
2.3 Loi de comportement...................................................................................................... 29
2.4 Energie de déformation élastique ................................................................................... 29
2.5 Théorème d'unicité.......................................................................................................... 30
2.6 Champ de déplacement virtuel admissible ..................................................................... 30
2.6.1 Définition........................................................................................................ 30
2.6.2 Conséquence ................................................................................................... 30
2.7 Energie potentielle d'un système élastique ..................................................................... 30
2.7.1 Système à un degré de liberté ......................................................................... 31
2.7.2 Système à plusieurs degrés de liberté ............................................................. 32
2.7.3 Système continu.............................................................................................. 32
2.8 Approximation par éléments finis .................................................................................. 33
2.8.1 Définitions ...................................................................................................... 34
2.9 Méthode des éléments finis en élasticité, conduite à partir des déplacements............... 34
2.10 Application à l'élément triangulaire à trois noeuds ...................................................... 36
2.10.1 Construction de la loi d'interpolation............................................................ 36
2.10.2 Tenseur des déformations approchées.......................................................... 39
2.10.3 Loi de comportement .................................................................................... 39
2.10.4 Matrice de rigidité de l'élément .................................................................... 40