Exercices en optique géométrique

Le tableau ci-dessous donne les longueurs d’onde, dans le vide, de deux radiations monochromatiques et les indices correspondants pour deux types de verre différents.

Couleur λ0 n (crown) n (flint)
rouge 656.3 1.504 1.612
bleue 486.1 1.521 1.671

1) Calculer les fréquences de ces ondes lumineuses. Dépendent-elles de l’indice du milieu ?

On prendra la célérité de la lumière dans le vide c0 = 2, 998.108 m.s−1.

2) Calculer les vitesses et les longueurs d’onde de la radiation rouge dans les deux verres.

3) a) Un rayon de lumière blanche arrive sur un dioptre plan air-verre, sous l’incidence i = 60°. L’indice de l’air est pris égal à n0 = 1. Rappeler les lois de Descartes relatives à la réfraction de la lumière.

    b) Calculer l’angle que fait le rayon bleu avec le rayon rouge pour un verre crown, puis pour un verre flint. Faire une figure. Quel est le verre le plus dispersif ?

1- Soit λ0 la longueur d’onde de la radiation dans le vide. On a :

KutoolsEquPic:(_0=𝑐_0.𝑇=𝑐_0/(   ( (=𝑐_0/(_0

Pour la radiation rouge νR = 4, 568.1014 Hz, et pour la radiation bleue νB = 6, 167.1014 Hz.

Les fréquences ne dépendent pas du milieu où se propage la radiation, ainsi la fréquence de la radiation rouge est la même dans le verre de crown que dans le verre de flint. De même pour la radiation bleue.

2- L’indice de réfraction est défini par :

KutoolsEquPic:𝑛=

𝑐
0

V
( v=

c
0

n

, où v est la vitesse de propagation de la radiation dans un milieu donné.

La longueur d’onde de la radiation est

KutoolsEquPic:(=v.𝑇=

𝑐
0
𝑇
𝑛
=

(
0

𝑛

• Dans le verre de crown, la vitesse et la longueur d’onde de la radiation rouge sont respectivement :

vR = 1, 993.108 m.s−1 et νR = 436, 3 nm .

• Dans le verre de flint, la vitesse et la longueur d’onde de la radiation rouge sont respectivement :

vR = 1, 86.108 m.s−1 et νR = 407, 1 nm .

3- a) Le rayon réfracté est dans le plan d’incidence et n0 sin i = n sin r.

b) • Pour le verre de crown :

La radiation rouge est réfractée sous l’angle : rR = 35, 16° et la bleue sous rB = 34, 71°.

L’angle de déviation étant l’angle entre la direction du rayon incident et du rayon réfracté, et donc le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut rR – rB = 0,45°.

• Pour le verre de flint :

rR = 32, 50° et rB = 31, 22° : le rayon bleu est plus dévié que le rayon rouge. L’angle entre le rayon rouge et le rayon bleu vaut 1,28°

Le « flint » est un verre plus dispersif que le « crown » car l’angle entre les deux rayons est le plus important.

Deux morceaux de verre taillés sous forme de triangles rectangles et isocèles d’indices respectifs N et n ont leur face AB commune. Un rayon incident normal à AD suit sa marche comme l’indique la figure. Les valeurs de N et n sont telles que la réflexion soit totale en I2.

1) Ecrire la relation de Snell-Descartes aux points I1 et I3.

2) Quelles relations vérifient les angles r et a ; a et b ?

3) Quelle relation vérifient N et n pour que la réfraction soit limite en I2 ?

Calculer N, r, et l pour n = 3/2 quand cette condition limite est réalisée.

On appelle N0 cette valeur limite de N. Pour que la réflexion soit totale en I2, N doit-il être plus grand ou plus petit que N0 ?

4) Ecrire la relation vérifiée par N et n pour que l’angle i soit nul. Que vaut N ?

  1. En I1 :
KutoolsEquPic:𝑵𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°=𝑵

𝟐

𝟐
=𝒏𝒔𝒊𝒏𝒓  (1) 

et en I3 :

KutoolsEquPic:𝒏𝒔𝒊𝒏(=𝒔𝒊𝒏𝒊   (2)

2. La normale à BC et la normale à AB sont perpendiculaires entre elles, dans le triangle formé par ces normales et I1I2, on a :

KutoolsEquPic:𝒓+(=
𝝅
𝟐
   (3)

De plus, avec le triangle I2CI3, on établit :

KutoolsEquPic:( + (=
𝝅
𝟒
   (4)

On trouve :

KutoolsEquPic:𝑁

2

2
 (  𝑛
1−
1

𝑛
2

ou bien

KutoolsEquPic:𝑁 ( 
2

𝑛
2
−1
KutoolsEquPic:𝑵 (
 𝑵
𝟎

càd :

3. Si i est nul alors est β nul, soit α = r = /4, et donc (1) N = n = 3/2

Une demi-boule de rayon R taillée dans un verre d’indice n, plongée dans l’air, est entièrement éclairée, du côté de la face plane, par un faisceau de rayons parallèles à l’axe principal.

  1. Montrer que la totalité du faisceau incident n’est pas transmise par le système.
  2. Quel est le diamètre d du faisceau incident transmis ?
  3. Montrer que le système n’est pas stigmatique.
  4. Exprimer la longueur a de la tache lumineuse (appelée aberration longitudinale) que l’on observe du côté de la face de sortie du système le long de l’axe principal.

1-Tous les rayons parallèles du faisceau incident traversent la face plane sans être déviés. Sur la face sphérique, seuls les rayons qui tombent sous incidence i < ℓ passent, avec ℓ est l’angle de réfraction limite.

KutoolsEquPic:𝑠𝑖𝑛 l=(𝑑/2)/𝑅 (  𝒅=𝟐𝑹/𝒏

2- Au point I’ on a : n sini = sinr

KutoolsEquPic:

𝐶𝐹′

𝑠𝑖𝑛𝑟
=
𝑅
sin⁡(𝑟−𝑖)
( 
𝐶
𝐹
′

=
𝑅𝑠𝑖𝑛𝑟
sin⁡(𝑟−𝑖)

Par ailleurs, dans le triangle (CI’F’) et d’après le théorème des sinus :

KutoolsEquPic:
𝐶𝐹′
=
𝑅𝑠𝑖𝑛𝑟
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑐𝑜𝑠𝑖−𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑜𝑠𝑟
=
𝑛𝑅
𝑛𝑐𝑜𝑠𝑖−𝑐𝑜𝑠𝑟
=
𝑛𝑅
𝑛𝑐𝑜𝑠𝑖−
1−
𝑛
2

𝑠𝑖𝑛
2

𝑖
KutoolsEquPic:
𝑪
𝑭
′

=𝒇
𝒊
,

la position de F’ dépend de l’angle d’incidence i, le stigmatisme est donc non rigoureux.

3- Les positions extrêmes de F’ correspondent à i = 0 et i = ℓ

0 < i< ℓpour avoir réfraction sur la face sphérique ; pour i > ℓ, on aura réflexion totale.

Pour i = 0,

KutoolsEquPic:

𝑪𝑭′
𝟎

=
𝒏𝑹
𝒏−𝟏

Pour i = ℓ,

KutoolsEquPic:

𝑪𝑭′′′ 
𝒍

=
𝒏𝑹


𝒏
𝟐
−𝟏

L’aberration longitudinale a de la demi-boule est telle que :

KutoolsEquPic:𝒂=|(〖𝑪𝑭′〗_𝒍 ) ̅−(〖𝑪𝑭′〗_𝟎 ) ̅ |=|𝒏𝑹(𝟏/√(𝒏^𝟐−𝟏)−𝟏/(𝒏−𝟏))|

a est la longueur de la tache lumineuse que l’on observe du côté de la face de sortie du système le long de l’axe principal.

Remarque : pour les rayons paraxiaux (i 0), la position de F’0 est à peu près indépendante de i (stigmatisme approché), F’0 représente dans ce cas le foyer image du système optique.