Exercice – 1 : (6 points)

Un homme dont la taille mesure

est debout devant un miroir plan rectangulaire, fixé sur un mur vertical. Son œil est à

du sol. La base du miroir est à une hauteur

au dessus du sol (voir figure, 1).

Figure. 1

  1. Déterminer la hauteur h maximale pour que l’homme voie ses pieds. Application numérique
  2. Comment varie cette hauteur en fonction de la distance d de l’œil au miroir ?
  3. Quelle est la hauteur minimale

du miroir nécessaire pour que l’homme puisse se voir entièrement, de la tête au pied ? Application numérique.

Exercice -2 : (5 points)

Un miroir sphérique donne d’un objet réel AB de hauteur 1 cm, placé perpendiculairement à son axe optique, à 4 cm du sommet, une image A’B’ inversée et agrandie 3 fois.

  1. Déterminer les caractéristiques de ce miroir (rayon, distance focale, nature)
  2. Faire une construction géométrique à l’échelle. On notera sur la construction les positions du centre C du miroir ainsi que de ses foyers principaux objet et images F et F’.

Exercice –3 :(1,5 points)

On considère le miroir sphérique de la figure 2. Construire le rayon réfléchi IB’ correspondant au rayon incident BI.

Exercice –4 : (7,5 points)

Une lame de verre, à faces parallèles, d’épaisseur e et d’indice n baigne dans un milieu transparent homogène et isotrope d’indice n’ tel que n’ n. Un objet ponctuel réel A, situé sur l’axe optique donne à travers la lame  une image A’.

  1. Construire géométriquement l’image A’ de A et montrer qu’un rayon incident quelconque donne un rayon émergent qui lui est parallèle.
  2. Sur une construction géométrique, illustrer le déplacement latéral Δ

entre les faisceaux incident et émergent. Déterminer son expression en fonction de e et des angles d’incidence et de réfraction.

  1. a) Rappeler les conditions de l’approximation de Gauss en optique géométrique.

b) En se plaçant dans les conditions de Gauss, déterminer l’expression du déplacement de l’image A’ par rapport à A en fonction de n, n’ et e.

  1. Dans le cas d’une lame d’épaisseur 5 mm et d’indice n = 1,5 placée dans l’air, calculer la position de l’image par rapport à H1, d’un objet A situé à 3 cm en avant de la première face de la lame. H1 est le point d’intersection de l’axe optique avec la face d’entrée. Quelle est la nature de l’image.

Exercice – 1 : Observer son propre reflet (6 pts)

Remarque : un point est « vu » par l’observateur dans le miroir s’il existe un rayon émis par ce point atteignant ses yeux après réflexion sur le miroir.

Figure. 1a

1. L’homme est repéré par le segment OA, ses yeux sont en Y.

L’image A”O” de l’adulte AO est symétrique par rapport au miroir. Pour que l’homme puisse voir ses pieds il faut que les rayons semblant provenir de O” pénètrent dans son œil placé en Y. Par construction géométrique (voir figure.1a), les triangles OO”Y et O’O”D sont semblables, on a donc :

KutoolsEquPic:(𝑂𝑌) ̅/(𝑂𝑂′′) ̅ =  (𝑂′𝐷) ̅/(𝑂′𝑂′′) ̅

Sachant que :

KutoolsEquPic: 
𝑂𝑂′′
=2 
𝑂′𝑂′′

on déduit que :

KutoolsEquPic:ℎ=

𝑂
′
𝐷
=

𝑂𝑌

2
 , (1)
KutoolsEquPic:𝐴.𝑁:  ℎ=0,87 𝑚

2. La hauteur

KutoolsEquPic: ℎ=

𝑂
′
𝐷
=

𝑂𝑌

2

est une constante, h ne dépend donc pas de la distance œil – miroir.

3. Hauteur minimale

KutoolsEquPic:
𝐷𝐶

du miroir : Pour que l’homme puisse se voir en entier, il faut aussi, que les rayons semblant provenir de sa tête A” pénètrent dans son œil placé en Y.

Par construction géométrique (voir figure.1b),

Figure. 1b

les triangles AA”Y et A’A”C sont semblables, on a donc :

KutoolsEquPic:

𝐶𝐴′


𝐴′𝐴′′

= 

𝑌𝐴


𝐴𝐴′′

et sachant que :

KutoolsEquPic:
KutoolsEquPic:  
𝐴𝐴′′
=2 
𝐴′𝐴′′

on déduit que :

KutoolsEquPic:
𝐶𝐴′
=

𝑌𝐴

2
, (2)

La dimension

KutoolsEquPic:
𝐷𝐶
=
𝑂𝐴′
−(

𝑂
′
𝐷
+
𝐶
𝐴
′

)

et d’après (1) et (2) :

KutoolsEquPic:
𝐷𝐶
=
𝑂𝐴′
−


𝑂𝑌

2
+

𝑌𝐴

2

=𝐻−
𝐻
2

.

Soit

KutoolsEquPic:
𝐷𝐶
=
𝐻
2
KutoolsEquPic:
𝐷𝐶
=0,92 𝑚

  A.N :  

Exercice -2: ( 5 pts)
1. En prenant le sommet S comme origine on a :

KutoolsEquPic:
1

𝑆𝐴

+ 
1


𝑆𝐴
′


=
2

𝑆𝐶

or

KutoolsEquPic:
𝑆𝐴
= −4 𝑐𝑚

et

KutoolsEquPic:𝛾= 

𝐴′𝐵′


𝐴𝐵

=−3=−

𝑆𝐴′


𝑆𝐴

⟹

𝑆𝐴

′
=3
𝑆𝐴
 ⟹

𝑆𝐴

′
=−12 𝑐𝑚
KutoolsEquPic:
−1
4
+ 
−1
12
=
−4
12
=
−1
3
=
2

𝑆𝐶
KutoolsEquPic:⟹
𝑆𝐶
=−6 𝑐𝑚

Donc de la relation de conjugaison on tire :

KutoolsEquPic:

𝑆𝐹

′
=
𝑆𝐹
= 

𝑆𝐶

2
= −3 𝑐𝑚

.

Le miroir est donc concave.

2. Construction géométrique à l’échelle.

Exercice –3 : (1,5 pts)

  1. On trace le plan focal objet (image) qui passe par F (F’) tel que
  1. On trace le parallèle au rayon incident qui passe par C. Celui-ci coupe le plan focal en un point B’. B’ est un foyer secondaire.
  2. Le rayon réfléchi correspondant au rayon incident BI est IB’ 

Exercice –4 : (7,5 pts)

1) Construction géométrique de A’

D’après les relations de Snell-Descartes pour les deux dioptres D1 et D2

Au point (I), on a: n sin i1 = n sin i2

Au point (J), on a: n sin i2 = n sin i3

D’où : n sin i1 = n sin i3

Soit sin i1 = sin i3 i3 = i1 le rayon émergent est donc parallèle au rayon incident.

2) a) Illustration du déplacement latérale sur la construction géométrique (voir figure).

KutoolsEquPic:𝚫= 
𝑰𝑯

b) détermination de

On considère les triangles rectangles IHI’ et IKI’ de la figure ci-dessus.

KutoolsEquPic:
sin

i−r
= 


𝐼𝐻


𝐼𝐼′

 ⟹ 
𝐼𝐻 
= 
𝐼𝐼′

sin
(𝑖−𝑟)

Dans le triangle IHI’, on a :

KutoolsEquPic:
 cos
𝑟=

𝐼𝐾


𝐼𝐼′


 ⟹ 
𝐼𝐾 
= 
𝐼𝐼′
 
cos
𝑟=𝑒⟹ 

𝐼𝐼′
=
𝑒

cos
𝑟

Et dans le tringle IKI’, on a :

KutoolsEquPic:Δ= 
𝐼𝐻
=𝒆 

𝐬𝐢𝐧
(𝒊−𝒓)


𝐜𝐨𝐬
𝒓

Finalement le déplacement latéral du rayon émergent vaut :

3) a) conditions de Gauss :

  • Objet plan de petite dimensions et perpendiculaire à l’axe optique
  • Rayons paraxiaux ou angles d’incidence faibles ou système optique de faible ouverture
KutoolsEquPic:
𝐀
𝐀
′
.

b) Calcul de l’expression de

KutoolsEquPic:


H
1

A
1


n
 =


H
1
A

n′
 ⟹

H
1

A
1

=

H
1
A 

n
n′

Soit A1 l’image de A par le dioptre D1 :

KutoolsEquPic:



H
2
A′

n′
 =


H
2

A
1


n
 ⟹

H
2
A′
=

H
2

A
1


n′
n

Soit A’ l’image de A1 par le dioptre D2 :

KutoolsEquPic:
A
A
′

= 

AH
1

+ 

H
1

H
2

+

H
2
A′

Or,

KutoolsEquPic:
A
A
′

=− 

H
1

A
1


n′
n
+ 𝐞+ 

H
2

A
1


n′
n
=e+ 

n
′

n



H
2

A
1

− 

H
1

A
1


=e+

n
′

n
 

H
2

H
1
KutoolsEquPic:
A
A
′

=e(1− 

n
′

n
)

Soit

KutoolsEquPic:
A
A
′

= e(1−
1
n
 )

4) n’= 1

KutoolsEquPic:

H
1
A
= −3 cm

avec e = 5 mm ; n = 1,5 et ,

KutoolsEquPic:
A
A
′

=1,67 mm
KutoolsEquPic:
A
A
′

= 

AH
1

+ 

H
1
A′
KutoolsEquPic:

H
1
A′ 
= 
A
A
′

− 

AH
1

AN : et comme

KutoolsEquPic: 

H
1

A
′


mm
= 1,67−30=−28,33 mm 

Soit :

A’ est une image virtuelle.